arctanx的导数是什么

arctanx的导数是什么

函数y=arctan⁡(x)y = \arctan(x)y=arctan(x)的导数是y′=11+x2y' = \frac{1}{1+x^2}y′=1+x21​。 这个结果可以通过反函数的导数规则得出，即如果函数x=f(y)x = f(y)x=f(y)可导，那么它的反函数y=f−1(x)y = f^{-1}(x)y=f−1(x)也可导，且[f−1(x)]′=1f′(y)[f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'(y)}[f−1(x)]′=f′(y)1​。在这个特定的情况下，x=tan⁡(y)x = \tan(y)x=tan(y)，因此dxdy=sec⁡2(y)=tan⁡2(y)+1\frac{dx}{dy} = \sec^2(y) = \tan^2(y) + 1dydx​=sec2(y)=tan2(y)+1。由此，dydx=1dxdy=1tan⁡2(y)+1=11+x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{\tan^2(y) + 1} = \frac{1}{1 + x^2}dxdy​=dydx​1​=tan2(y)+11​=1+x21​。这表明arctan⁡(x)\arctan(x)arctan(x)的导数就是11+x2\frac{1}{1+x^2}1+x21​。‌